Traveling to the Moon

julho 20, 2009

Moon, four letters that have generated questions. Today’s the 40th birthday of the first trip of humanity to the moon, but not all, there are peoples that simply do not believe that the man can leave our world and walk in other earth, colder and stranger, but, another planet.

Wanted talk about this ”mistery” that we saw in this trip, who for me been the stuff more important and beautiful who man already did. For who saw all the projects NASA, starting with in the operation MERCURY, that had a simple mission, put a man in orbital earth,this happened with two or three years of spacial search always running for pick the URSS technology.

On this period the president of US was the young Kenedy and many men  think that he were crazy when says:

”I challenge the US the put a man in the moon untill the end of this decade”

Wow! They just put the man in orbital and now the country wanted more and more, wanted leave the second place of the rush spacial and stays there, on the top of the world, in just nine years almost impossible….. but not for they.

The challenge was done, and the search begun. Soon after this started the project GEMINI that been of crucial importance for the real mission: the MOON. With the GEMINI they are doing all the tests, walk in the space sideral, putting two fogetes side by side… and there going the man…. to the moon.

So starts the project APOLO, the unique thing that was missing was the missil superpotente the enough to do the man win the fight with the gravity and leaves home. But the arms forces north american not disapoints, they was doing the more potente machine,SATURNO V, this amazing stuff was able to transport the man untill the moon.

In just a minute flying , Saturn V, had already won a fight with the sound. Yes, it is. The speed of the Saturn was up to six times faster than sound. Powerful, with the mission APOLO 10 was done to test the lunar module and there the man was in lunar orbit, took twelve rounds in lunar orbit and returned back to the home.

NASA likes of do the things with safety and in 1969, missing some months for end the decade the NASA says:

”Let’s go man, the time is now ”.

And ” where we go?” the simple answer was ” for the moon,axl, for the moon…”

Apollo 11, with three men leave the earth to do history…There Neil Armstrong placed the feet for the first time in another planet, was fantastic, nobody was believe there.

All the especulation about all this be false, is so much arrogance and without faith in the humanity, because was not just the US, was everybody, we are evolving  day by day. This fact must show for all the people that, how says Obama,” YES WE CAN”.. and the phrase that represent our more important discovery was:

“One small step for man, one great leap for humanity” Neil Armstrong.

Apollo 11, with three men leave the earth to do history…There Neil Armstrong placed the feet for the first time in another planet, was fantastic, nobody was believe there.

Polinomio ITA

julho 15, 2009

Resolva a equação [;4x^{6} -21x^{4} + 21x^{2} - 4 = 0;].

Observando o polinômio, pelo teorema do reconhecimento, podemos afirmar que é uma equação reciproca, ainda pelo mesmo teorema, nota-se que é de segunda espécie, pois os termos equidistantes são simétricos.

Assim pode-se afirmar que 1 é raiz da equação e que a divisão da equação por x – 1 encontramos um polinomio ainda reciproco mas de 1º espécie com grau impar.

[;p(x)=(x-1)(4x^{5} + 4x^{4}-17x^{3}-17x^{2}+4x+4);]

Analizando o q(x) da divisão, pelo teorema das equações reciprocas, ele admite – 1 como raiz, pois é reciproco de 1º espécie e tem grau impar.

Dividindo q(x) por ( x + 1) ainda teremos um reciproco de 1º espécie porem de grau par.[ o que é muito bom.]

[;q(x) = (x + 1)(4x^{4}- 17x^{2}+4);]

[;4x^{4}- 17x^{2}+4=0;]

Dividindo tudo por [;x^{2};].

[;4x^{2} - 17 + \frac{4}{x^{2}};]

[;\leftrightarrow;]

[;4(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 17 = 0;]

Chamando [;y = x + \frac{1}{x};]

[;4(y^{2} - 2) - 17 = 0\;\;\leftrightarrow\;\;4y^{2}=25;]

[;y=\pm\frac{5}{2};]

Devolvendo em x:

[;x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}\;\leftrightarrow\;2x^{2} +2 - 5x = 0;]

[;\Delta=9;]

[;x = \frac{5\pm3}{4}\;\;\leftrightarrow\;x=2\;\;x'=\frac{1}{2};]

quando [;y = \frac{-5}{2};] só irá mudar os sinais das raizes.

Então as raizes da equação são [;[1,-1,2,-2,\frac{1}{2},\frac{-1}{2}];]


Algoritmo Briot-Ruffini

julho 9, 2009

Demonstração do algoritmo, sua execução é sem dúvida mais simples do que a demonstração, bom saber o que estamos fazendo ”automaticamente” hehe.

Dados dois polinômios:

[;f= a_{0}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x^{1}+a_{n};]

[;g = x-a;]

Vamos determinar o quociente [;q;] e o resto [;r;] da divisão de f por g.

Façamos que o quociente será da forma:

[;q= q_{0}x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}+...+q_{n-2}x^{1}+q_{n-1};]

E apliquemos o Método de Descartes, dos coeficientes a determinar;

[;q= q_{0}x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}+...+q_{n-2}x^{1}+q_{n-1}\;\; \times\;\;\ x - a;]

[;\Leftrightarrow;]

[;q= q_{0}x^{n}+q_{1}x^{n-1}+...+q_{n-1}x^{1}-aq_{0}x^{n-1} -....-aq_{n-1};]

[;\Leftrightarrow;]

[;q=q_{0}x^{n}+(q_{1}-aq_{0})x^{n-1}+....+(q_{n-1}+aq_{n-2})x^{1}-aq_{n-1};]

Impondo a condição [;q.(x-a)+r=f;] resultam as seguintes igualdades:

[;q_{0}=a_{0};]

[;q_{1}-aq_{0}=a_{1}\;\leftrightarrow\;q_{1}=a_{1}+aq_{0};]

[;...;]

[;q_{n-1}-aq_{n-2} = a_{n-1};]

[;r\;-\;aq_{n-1}=a_{n}\;\leftrightarrow\;r=a_{n}+aq_{n-1};]

E ocorre exatamente isso quando aplicamos o dispositivo prático para encontrar o resto,  pois multiplicamos o penultimo quociente com o valor de [;a;] e somamos ao n-ésimo termo do polinômio.


Desafio Polinomio^^

julho 7, 2009

Determinar a condição para que o polinomio f = (ax + b)² + (cx+d)², onde , a,b,c,d são números reias e não nulos, seja um quadrado perfeito

[;f = (ax + b)^{2} + (cx + d)^{2};]

[;f = a^{2}x^{2}\;+\; 2abx \;+\; b^{2} \;+\; c^{2}x^{2} + 2cdx + d^{2};]

[;f = (a^{2} + c^{2})x^{2} \;+\; (2ab + 2cd)x \;+ b^{2} + d^{2};]

[;Para\; que\; seja\; um\;quadrado\;perfeito\; devemos\; ter;]

[;um\; protudo\; da\; forma:\; (px + q)^{2};]

[;Igualando:;]
I: [;a^{2} + c^{2} = p^{2};]

II: [;2ab\;+\;2cd=2pq\;\;\Leftrightarrow\;ab\;+\;cd\;=\;pq;]

III: [;b^{2}\;+\;d^{2}\;=\;q^{2};]

[;Elevando\; II\;ao\;quadrado:;]

[;p^{2}q^{2}\;=\;a^{2}b^{2}\;+\;2abcd\;+\;c^{2}d^{2};]

[;Substituindo\;I\;e\;II\;:;]

[;(a^{2} + c^{2})(b^{2} + d^{2})\;=\;a^{2}b^{2}\;+\;2abcd\;+\;c^{2}d^{2};]

[;a^{2}b^{2}+a^{2}d^{2}\;+\;c^{2}b^{2} + c^{2}d^{2} =;]

[;\Leftrightarrow;]

[;a^{2}d^{2}\;+\;c^{2}b^{2}\;=\;2abcd\;\;\; \Leftrightarrow;]

[;(ad - cd)^{2} \;=\; 0;]

[;\Leftrightarrow;]

[;ad = cd;]


Função Φ

junho 25, 2009

A função Φ de Euler, calcula quais os números que são primos em relação a um dado n. Por exemplo:

n = 4

os números menores iguais a 4  são {1,2,3,4} quais desses são primos em relação ao 4? apenas o 1 e 3.

A função Φ é expressa da seguinte maneira:

Φ( p^(a) ) =p^(a) – p^(a-1)

Confirmando o caso n = 4:

Φ(2²) = 2² – 2 = 2

A função Φ também é multiplicativa, então:

Se Φ(p^(a) ) = p^(a)[ 1 - 1/p^(a)]

Então para um dado número n, seja ele igual a n = p1^(a1) . p2^(a2) . …….pk^(ak), então Φ( n) será:

Φ(n) = Φ(p1^(a1)…..pk^(ak)) = p1^(a1)[ 1 - 1/p1]. p2^(a2)[1 - 1/p2] …………..pk^(ak)[1  - 1/pk]

organizando:

Φ(n) = p1^(a1)….pk^(ak)[1 - 1/p1]…..[1 - 1/pk]

Φ(n) = n[1 - (1/p1)][1 - (1/p2)]……[1 - (1/pk)]


Funções Aritméticas

junho 24, 2009

Chamamos função aritmética a uma função definida para todos os inteiros positivos.

Função τ(n) calcula o número de divisores que um número inteiro possui, da seguinte maneira:

Seja n = p1^(a1) . p2^(a2) . ……….. pk^(ak), onde p1,p2,…….,pk são números primos e a1,a2,…….,ak seus respectivos expoentes, então τ(n) fica definido como,

τ(n) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3  + 1) …….. (ak + 1)

Porém se n for um número primo, da forma p^(a) podemos dizer que:

τ(p^(a)) = a + 1

Esta ultima afirmação vem da definição, já que os unicos divisores de um número primo é 1 e ele mesmo.

Aceitar esssas definições sem aplica-las não vale nada.

Exemplos: Seja n = 32 quantos divisores ele terá?

32 = 2^(5)

τ(32) = (5 + 1) = 6 divisores.

vemos que como 2 é primo, caimos na segunda formulação do teorema.

Quantos divisores tem o número 45?

45 = 3².5

τ(45) = (2 + 1)(1  + 1) = 6 divisores.

Função σ(n), chamada de função sigma de n, calcula a soma dos divisores de um número inteiro positivo n.

Podemos fazer isso da seguinte maneira, sendo n = p^( a ) teremos:

σ(n) = [p^(a + 1) - 1]/(p – 1)… questão interessante agora seria.. PORQUE?

bom, vamos ver:

Lembrando da PG, que a soma dos termos é [a1(q^(n+1) - 1)]/(q – 1) então, se a função sigma calcula a soma dos divisores, vamos escreve-los:

σ(p^(a)) = 1 + p¹ + p² + p³ + …….+p^(a-1) + p^(a)

Percebemos ai uma PG de razão p, correto?

Pois p²/p¹ = p/1 = k sendo k a razão p nesse casso.

vamos somar então:

σ(p^(a)) = 1.(p^(a + 1) – 1]/p – 1

σ(p^(a)) = p^(a+1) – 1/p – 1

c.q.d

Bom, vamos utilizar em um exemplo, pra ver se reamente funciona:

σ(64) = σ(2^(6)) = [2^(7) - 1]/2 – 1

σ(64) = 127

Será que confere?vamos fazer ué, tem-se todo o tempo necessario ^^

Divisores de 64 {1,2,4,8,16,32,64}

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = ……..127!!! \o/

Mas para um leitor atento ainda é pouco, vimos que a função que calcula o número de divisores de um determinado número n tem sua forma restrita para n = p^(a) e também funciona para numeros inteiros positivos que não são da forma p^(a). E a função sigma, não funciona? ^^

Ambas as funções são multiplicativas, ou seja, para números diferentes do caso p^(a) você vai multiplicar os diversos p^(a) que houver, pois todo número não é passivel de ser escrito como o produto de fatores primos? Então todo número terá fatores na forma p^(a).

como τ(p^(a)) = a + 1, sabemos que todo n pode ser escrito como n = p1^(a1) .p2^(a2). ………….. .pk^(ak) então τ(n) = (a1 + 1)(a2 + 1)…..(ak + 1). Esse resultado já foi mostrado anteriormente, então de forma analoga podemos determinar para a função sigma:

Se σ(p^(a)) = [p^(a+1)-1]/p – 1], então σ(n) será dado por:

σ(n) = {[p1^(a1 + 1) - 1]/(p1 -1)}{[p2^(a2 + 1) - 1]/(p2 – 1)}…..{[pk^(ak + 1) - 1]/(pk – 1)}


Ressaltando que n = p1^(a1) .p2^(a2). ………….. .pk^(ak).

Exemplo: Qual a soma dos divisores de 78?

78 = 2.3.13

σ(78) = {[2^(1 + 1) - 1]/2 – 1}{[3^(1+1)-1]/3 – 1}{[13^(1+1) – 1/13 – 1}

σ(78) =(3)(4)(14)

σ(78) = 168

Como sou muito desconfiado, vou confirmar esse resultado:

Divisores de 78 {1,2,3,6,13,26,39,78}

1 + 2 + 3 + 6 + 13 + 26 + 39 + 78 = ….. 180!!.. hahaha não… 168! :)


Teorema do resto Chinês

junho 13, 2009

Sejam m e n inteiros positivos primos entre si. Se a e b são inteiros quaisquer, então o sistema:

x = a (mod m)

x = b (mod n)

Sempre tem solução e qualquer uma de suas soluções pode ser escrita na forma

a + m.( m’.(b – a) + n.t)

onde t é um inteiro qualquer, e m’ é o inverso de m módulo n

Demonstrando o teorema:

Considerando o sistema;

x = a (mod m)

x = b ( mod n)

Como os módulos são diferentes, temos que fazer uma combinação através de suas formas por igualdade.

x = m.k + a

x = m.k’ + b

Agora substituimos na congruencia:

m.k + a = b (mod n)

m.k = (b – a) ( mod n)

Sendo m.m’ = 1 (mod n)  ou seja, m’ é o inverso de m então:

k = m’(b – a) ( mod n)

Chegamos a isolar o k, passando para sua forma de igualdade:

k = m’(b-a) + n . t

substituindo k na sua equação original:

x = m.(m’(b-a) + n.t) + a

[  ]c.q.d


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