Funções Aritméticas

Chamamos função aritmética a uma função definida para todos os inteiros positivos.

Função τ(n) calcula o número de divisores que um número inteiro possui, da seguinte maneira:

Seja n = p1^(a1) . p2^(a2) . ……….. pk^(ak), onde p1,p2,…….,pk são números primos e a1,a2,…….,ak seus respectivos expoentes, então τ(n) fica definido como,

τ(n) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3  + 1) …….. (ak + 1)

Porém se n for um número primo, da forma p^(a) podemos dizer que:

τ(p^(a)) = a + 1

Esta ultima afirmação vem da definição, já que os unicos divisores de um número primo é 1 e ele mesmo.

Aceitar esssas definições sem aplica-las não vale nada.

Exemplos: Seja n = 32 quantos divisores ele terá?

32 = 2^(5)

τ(32) = (5 + 1) = 6 divisores.

vemos que como 2 é primo, caimos na segunda formulação do teorema.

Quantos divisores tem o número 45?

45 = 3².5

τ(45) = (2 + 1)(1  + 1) = 6 divisores.

Função σ(n), chamada de função sigma de n, calcula a soma dos divisores de um número inteiro positivo n.

Podemos fazer isso da seguinte maneira, sendo n = p^( a ) teremos:

σ(n) = [p^(a + 1) – 1]/(p – 1)… questão interessante agora seria.. PORQUE?

bom, vamos ver:

Lembrando da PG, que a soma dos termos é [a1(q^(n+1) – 1)]/(q – 1) então, se a função sigma calcula a soma dos divisores, vamos escreve-los:

σ(p^(a)) = 1 + p¹ + p² + p³ + …….+p^(a-1) + p^(a)

Percebemos ai uma PG de razão p, correto?

Pois p²/p¹ = p/1 = k sendo k a razão p nesse casso.

vamos somar então:

σ(p^(a)) = 1.(p^(a + 1) – 1]/p – 1

σ(p^(a)) = p^(a+1) – 1/p – 1

c.q.d

Bom, vamos utilizar em um exemplo, pra ver se reamente funciona:

σ(64) = σ(2^(6)) = [2^(7) – 1]/2 – 1

σ(64) = 127

Será que confere?vamos fazer ué, tem-se todo o tempo necessario ^^

Divisores de 64 {1,2,4,8,16,32,64}

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = ……..127!!! \o/

Mas para um leitor atento ainda é pouco, vimos que a função que calcula o número de divisores de um determinado número n tem sua forma restrita para n = p^(a) e também funciona para numeros inteiros positivos que não são da forma p^(a). E a função sigma, não funciona? ^^

Ambas as funções são multiplicativas, ou seja, para números diferentes do caso p^(a) você vai multiplicar os diversos p^(a) que houver, pois todo número não é passivel de ser escrito como o produto de fatores primos? Então todo número terá fatores na forma p^(a).

como τ(p^(a)) = a + 1, sabemos que todo n pode ser escrito como n = p1^(a1) .p2^(a2). ………….. .pk^(ak) então τ(n) = (a1 + 1)(a2 + 1)…..(ak + 1). Esse resultado já foi mostrado anteriormente, então de forma analoga podemos determinar para a função sigma:

Se σ(p^(a)) = [p^(a+1)-1]/p – 1], então σ(n) será dado por:

σ(n) = {[p1^(a1 + 1) – 1]/(p1 -1)}{[p2^(a2 + 1) – 1]/(p2 – 1)}…..{[pk^(ak + 1) – 1]/(pk – 1)}


Ressaltando que n = p1^(a1) .p2^(a2). ………….. .pk^(ak).

Exemplo: Qual a soma dos divisores de 78?

78 = 2.3.13

σ(78) = {[2^(1 + 1) – 1]/2 – 1}{[3^(1+1)-1]/3 – 1}{[13^(1+1) – 1/13 – 1}

σ(78) =(3)(4)(14)

σ(78) = 168

Como sou muito desconfiado, vou confirmar esse resultado:

Divisores de 78 {1,2,3,6,13,26,39,78}

1 + 2 + 3 + 6 + 13 + 26 + 39 + 78 = ….. 180!!.. hahaha não… 168!🙂

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