Algoritmo Briot-Ruffini

Demonstração do algoritmo, sua execução é sem dúvida mais simples do que a demonstração, bom saber o que estamos fazendo ”automaticamente” hehe.

Dados dois polinômios:

[;f= a_{0}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x^{1}+a_{n};]

[;g = x-a;]

Vamos determinar o quociente [;q;] e o resto [;r;] da divisão de f por g.

Façamos que o quociente será da forma:

[;q= q_{0}x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}+...+q_{n-2}x^{1}+q_{n-1};]

E apliquemos o Método de Descartes, dos coeficientes a determinar;

[;q= q_{0}x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}+...+q_{n-2}x^{1}+q_{n-1}\;\; \times\;\;\ x - a;]

[;\Leftrightarrow;]

[;q= q_{0}x^{n}+q_{1}x^{n-1}+...+q_{n-1}x^{1}-aq_{0}x^{n-1} -....-aq_{n-1};]

[;\Leftrightarrow;]

[;q=q_{0}x^{n}+(q_{1}-aq_{0})x^{n-1}+....+(q_{n-1}+aq_{n-2})x^{1}-aq_{n-1};]

Impondo a condição [;q.(x-a)+r=f;] resultam as seguintes igualdades:

[;q_{0}=a_{0};]

[;q_{1}-aq_{0}=a_{1}\;\leftrightarrow\;q_{1}=a_{1}+aq_{0};]

[;...;]

[;q_{n-1}-aq_{n-2} = a_{n-1};]

[;r\;-\;aq_{n-1}=a_{n}\;\leftrightarrow\;r=a_{n}+aq_{n-1};]

E ocorre exatamente isso quando aplicamos o dispositivo prático para encontrar o resto,  pois multiplicamos o penultimo quociente com o valor de [;a;] e somamos ao n-ésimo termo do polinômio.

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