Polinomio ITA

Resolva a equação [;4x^{6} -21x^{4} + 21x^{2} - 4 = 0;].

Observando o polinômio, pelo teorema do reconhecimento, podemos afirmar que é uma equação reciproca, ainda pelo mesmo teorema, nota-se que é de segunda espécie, pois os termos equidistantes são simétricos.

Assim pode-se afirmar que 1 é raiz da equação e que a divisão da equação por x – 1 encontramos um polinomio ainda reciproco mas de 1º espécie com grau impar.

[;p(x)=(x-1)(4x^{5} + 4x^{4}-17x^{3}-17x^{2}+4x+4);]

Analizando o q(x) da divisão, pelo teorema das equações reciprocas, ele admite – 1 como raiz, pois é reciproco de 1º espécie e tem grau impar.

Dividindo q(x) por ( x + 1) ainda teremos um reciproco de 1º espécie porem de grau par.[ o que é muito bom.]

[;q(x) = (x + 1)(4x^{4}- 17x^{2}+4);]

[;4x^{4}- 17x^{2}+4=0;]

Dividindo tudo por [;x^{2};].

[;4x^{2} - 17 + \frac{4}{x^{2}};]

[;\leftrightarrow;]

[;4(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 17 = 0;]

Chamando [;y = x + \frac{1}{x};]

[;4(y^{2} - 2) - 17 = 0\;\;\leftrightarrow\;\;4y^{2}=25;]

[;y=\pm\frac{5}{2};]

Devolvendo em x:

[;x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}\;\leftrightarrow\;2x^{2} +2 - 5x = 0;]

[;\Delta=9;]

[;x = \frac{5\pm3}{4}\;\;\leftrightarrow\;x=2\;\;x'=\frac{1}{2};]

quando [;y = \frac{-5}{2};] só irá mudar os sinais das raizes.

Então as raizes da equação são [;[1,-1,2,-2,\frac{1}{2},\frac{-1}{2}];]

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