Exercicio

Calcule os inversos de 2,3 e 6 módulo 6k + 1

Para o inverso de 2; Temos que n = 6k + 1 somando – 1

n – 1 = 6k  <=>  n- 1 = 2(3k)

n = 2(3k) + 1

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2(3k) + 1 = 0 (mod n)

2(3k) = – 1 (mod n)

2(-3k) = 1 (mod n)

-3k é o inverso de 2 módulo 6k + 1

Inverso de 3.

n = 6k + 1

n-1 = 6k

n = 3(2k)+1

o inverso de 3 vai ser – 2k

Inverso de6;

n – 1 = 6k

n = 6(k) + 1

O inverso de 6 será – k

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Determine um inverso para cada um dos residuos distintos módulo 6

Módulo 6 –> resíduos {1,2,3,4,5}

1 = 1 (mod 6) [ inverso é 1 ]

2 = 1 (mod 6 ) [ não tem inverso O.o]

3 = 1 (mod 6) [ não tem inverso O.o]

4 = 1 (mod 6) [ não tem inverso ]

5 = 1 (mod 6 ) [ 5 é inverso de 5 ]

Temos  que para os número sem inverso:

2.3 = 0 (mod6)

4.3 = 0 (mod 6 )

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Determine um inverso para cada um dos resíduos distintos módulo 7 e módulo 13.

Temos que os resíduos modulo 7 são: {1,2,3,4,5,6} vamos determinar os inversos.

1 = 1 (mod 7 ) [ inverso de 1 é 1 ]

2.4 = 1 (mod 7 ) [ inverso de 2 é 4]

3.5 = 1 (mod 7) [ inverso de 3 é 5]

4 .2= 1 (mod 7) [ inverso de 4 é 2 ]

5.3=1 (mod 7) [inverso de 5 é 3]

6.6 = 1(mod 7 ) [ inverso de 6 é 6 ]

Notamos que  se 4 é inverso de 2 modulo 7, então 2 é inverso de 4 módulo 7.

Para determinar os inversos dos residuos de 13, faremos da mesma forma.Seus resíduos são {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, Portanto:

1 = 1 (mod 13) [ 1 é inverso de 1 ]

2 = 1(mod 13) [ 7 é inverso de 2]

3 = 1 (mod 13) [ 9 é inverso de 3]

4 = 1 (mod 13) [ 10 é inverso de 4]

5 = 1 (mod 13) [ 8 é inverso de 5]

6 = 1( mod 13) [ 11 é inverso de 6]

Apartir daqui entramos no caso, 7 é o inverso de 2, então 2 é inverso de 7. A forma de se determinar os inversos modulares, é na tentativa mesmo:/ E  dá para reparar que, quanto mais inversos você tem, mais fácil fica para encontrar o próximo, pois se 8 é inverso de 5 módulo 13, então nem 8 e nem 5 poderão ser inversos de quaisquer outros números, com isso na hora de procurar você já eliminaria, o 8 e o 5.

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Podemos resolver algumas contas que seriam meramente impossiveis até mesmo para ‘hiper-computadores’ ficticios.

Exemplo desse artificio será:

Detemine o resto da divisão de 10^(9876),  10^(1247) por 7.

A constante de Avogadro é 6,02×10^(23) isso já é um número absurdamente grande, imagine 10^(9876).

Pois bem,  utilizando das propriedades da congruência podemos afirmar que:

10 = 3 (mod 7 )

10² = 10.3 (mod 7 ) = 2 (mod 7 )

10³ = 10.2(mod 7 ) = 6  (mod 7 )

10^(4) = 10.6 (mod 7 ) = 4 (mod 7 )

10^(5) = 10.4 (mod 7 ) = 5 (mod 7 )

10^(6) = 10.5 (mod 7 ) = 1 (mod 7)

Apartir daqui  vai começar a se repetir todos os restos, observe algo muito importante, enquanto o número da esquerda contem 6 zeros, o da direita é apenas a unidade, estamos controlando o número da direita para que ele não cresça.

Podemos utilizar o fator 10^(6) para simplificar ainda mais as operações, como por exemplo, tentar escrever o expoente de 10^(9876) em função de 10^(6).

Assim faremos, 9876 é multiplo de 6 pois 6 x 1646 = 9876, opa.. isso é bom pois seria como se reescrevessemos o problema da seguinte maneira:

10^(9876) = 10^(6).10^(6).10^(6)…….10^(6) (mod 7 )

sendo que teriamos 10^(6) se repetindo por 1646 vezes, mas 10^(6) não é igual a 1 modulo 7 ? então é equivalente, posso trocar 10^(6) por 1. terei assim a seguinte expressão:

10^(9876) = 1.1.1.1.1……….1 (mod 7 )

onde o 1 aparece 1646 vezes. e 1 vezes 1, é sempre? ^^ 1.

e concluimos que:

10^(9876) = 1 (mod 7 ) ou seja o resto da divisão desse número pequenino por 7 é 1.

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